发布人：王燕  发布时间：2019/4/28 15:21:29

教学大纲指出：“学生初步逻辑思维能力的发展，需要有一个长期的培养和训练过程，要有意识地结合教学内容进行，教学时要遵循学生的认知规律，要重视获取知识的思维过程。”

为了更好地促进学生思维能力的发展，开发学生智力潜能，促进学生的素质全面提高，我校把数学思维训练课作为校本课程的一项内容，并进行了深入的探索和研究。我结合《重叠问题》的教学实践，谈谈对本节课的思考。

课堂实录：

【教学例1】

例1、陶陶排队买票，从前数排在第5个，从后数他排在第9个。一共多少人在排队买票？

思路点拨：先根据题意画出示意图，分析数量关系，发现陶陶是5个和9个的重叠部分，要计算总数，应该怎样解决这个问题呢？

师：今天我们一起来研究重叠问题。小朋友们先想一想，图中的“5个”和“9个”分别是什么意思？和你的同桌交流一下。

生：“5个”是指从前数包括陶陶在内的5个人，“9个”是指从后往前数包括陶陶在内的9个人。

师：也就是说，从前往后数，陶陶是数了一次的，从后往前数，陶陶也数了一次，陶陶一共被数了几次？

生：两次。

师：要计算总数，我们要应该如何解决呢？

生：要把多数的那次减去。

让学生独立列式，全班反馈。

生：我列的式子是：5+9-1=13（人）

师：你能解释一下这里的减1是什么意思吗？

生：陶陶被算了两次，所以要减去一次。

师：有其他的列式方法吗？

生：我列的式子是：4+8+1=13（人），4就是陶陶前面的人数，8就是陶陶后面的人数，最后再加上他自己。

师：我们来比较这两种方法，第一种是两次数都算上了陶陶，最后再减去多算的一次；第二种是两次都不算陶陶，最后再加上。除了这两种方法，还有其他的想法吗？

生：还可以这样列式：9-1=8（人），8=5=13（人），求出的8人是指陶陶后面有8人，再加上前面的连陶陶在内的5人。

师：你的想法也非常好，其实是一次算上陶陶，一次不算陶陶的方法。看来啊，关于重叠问题的解决我们可以有三种列式方法。接下来我们一起来解决关于“钉木板”中的重叠问题。

【教学例2】

例2、有两根长40厘米的木条，钉在一起，中间重叠的部分长8厘米，钉在一起之后木条总长多少厘米？

思路点拨：先把示意图补充完整，再结合图意分析重叠部分与各部分及总数之间的关系。

　　
　　 

8厘米

师：图中已经把重叠部分表示出来了，你能在图上标出40厘米在哪儿吗？

学生尝试标出，教师选取错误的图投影。

师：你们觉得他这样标对吗？

生：不对，这样标的话，两个木条都没有靠在一起。

师：想要产生重叠，该如何标呢？

再请一个画对的学生投影，边指边说。

生：从这儿到这儿是40厘米，从这儿到这儿是40厘米。中间的8厘米是重叠的部分。

师：说的真好，你们能根据图列式吗？

学生独立完成，全班反馈。

生1：我列的式子是40+40-8=72（厘米）

师：他的方法是我们刚才总结的哪种？

生：两次都算，再减去一次。

（学生不能顺畅说出，需要教师引导。）

生2：我列的式子是32+32=64（厘米），64+8=72（厘米）。

师：请你上来指一指32在哪里。

师：他的方法是我们刚才总结的哪种？

生：两次都不算，再加上重叠的部分。

生3：我列的式子是40-8=32（厘米），40+32=72（厘米）。

师：他的方法是我们刚才总结的哪种？

生：一次算，一次不算。

师：在钉木条问题中也有重叠问题，同样我们需要先理清重叠的部分与总体之间的数量关系。在摆棋子的问题中也有这样的重叠问题。

【教学例3】

例3、在正方形边上摆棋子，使正方形的每条边都有5枚棋子，最少要用多少枚棋子呢？

思路点拨：要使每条边都有5枚棋子，且总数最少，哪几个位置很重要？为什么？先在图上画一画，想想怎样列式解答。

师：想要总数最少，哪几个位置很重要？和你的同桌说一说。

生：四个角上很重要，因为是共用的棋子。

学生画出四个角上的棋子后，提问：观察一下，现在每边有几枚棋子了？

生：两枚。

师：每边还需要再画几枚？

生：3枚。

师：将你的图补充完整，并尝试列式。

生1：我列的式子是3×4+4=16（枚）

师：你能说一说3×4是表示什么吗？加4表示什么呢？

生1：3×4就是算出除了四个角上的中间的棋子，最后再加上四个角上的棋子。

师：这种方法是我们刚才总结的哪种？

生：先都不算，再加上重叠的部分。

生2：我列的式子是4×5-4=16（枚）

师：你能说一说4×5是表示什么吗？减4表示什么呢？

生2：4×5表示有4条边，每条边有5枚棋子，减4表示把多算的4个角的棋子减去。

师：这种方法是我们刚才总结的哪种？

生：先都算，再减去重叠的部分。

师：还有其他的想法吗？

生3：还可以列4×4=16（枚）

师：看来你是把这些棋子分了组，请你来画一画你是怎么分的。

生3：

师：看明白了吗？他是将一个角上的棋子和中间的三枚棋子分成了一组，一共有4组这样的棋子。

【教学例4】

例4、二（1）班有学生48人，期末考试后，数学优秀的有36人，语文优秀的有22人，全班每人至少有一门课得优秀，问两门都优秀的有几人？

思路点拨：尝试画图表示数学优秀、语文优秀的人数，这两者有没有重叠部分？再与全班人数比较，确定解题思路。

师：你是如何理解“至少有一门课得优秀”的？和你的同桌讨论一下。

生1：至少有一门课得优秀就是说没有不优秀的人。

生2：有的是一门优秀，还有的是两门都优秀。

师：两门都优秀可以看作是重叠的部分，请你尝试着画图。如果不会画，仿照“钉木板”的图。

等学生画好后，挑选几种不同的图的学生讲解。

生1：

 

生2：

生3：

 

生4：

师：比较一下这几个小朋友的图，不管是画的线段图，还是长条图，或者是圆形图，它们都有一个共同的特点，是什么？

生：都有重叠的一段。

师：没错，这几个图本质上是相同的，你们想象一下，把圆形摁扁了，是不是就是长条图了？把长条图在摁扁了，是不是就是线段图了？

【教学反思】

一、如何有效引出画图策略

本节课没有过多引入，而是课一开始就直接让学生学习例题，研究例题给出的图，再根据图来列算式，其实是有点跑偏教学目标的。这节课的教学目标首先应该是学生能够根据题意去画示意图，从而分析重叠部分与整体的数量关系，在解题的过程中形成画图分析数量关系式的意识，最后再基于画图形成不同的解题思路。二年级学生的思维特点是以形象思维为主，可以利用问题情境来让学生产生画图需求。本节课可以这样引入：

师：小朋友们，上课之前竖起耳朵听老师说：陶陶排队买票，从前数排在第5个，从后数他排在第9个。老师讲的话记住了吗，你能不能把老师的话用一种更清楚的方式表示出来？

学生会想到用画图的形式表示，可能会出现这几种画图方法：

①○○○○●●○○○○○○○○（出现两个陶陶）

②○○○○●○○○○○○○○○（陶陶的右边画了9个）

③○○○○●○○○○○○○○（正确）

师：根据文字我们来比较一下这几种画法，哪种是正确的？

再让学生对比文字描述与直观图，哪种题意表示得清楚？

师：利用画图帮助我们解决问题会更加直观、形象。

通过这样一个问题情境的引入，能有效地产生画图解决问题的需求，学生的思维碰撞是源于对问题的发现。学生再通过亲身经历，如摆、拼、画等一系列的操作活动来解决问题，在操作的过程中思维能够得到较好的提升。

二、反馈的形式如何改善

本节课的反馈形式基本上是以：教师先引导学生想思路或突破点，学生再独立完成画图或列式，最后再指名学生口答或上台展示。在整节课中虽然进行了三次同伴合作（例1：图中的“5个”和“9个”分别是什么意思？例3：想要总数最少，哪几个位置很重要？例4：你是如何理解“至少有一门课得优秀”的？），但都是根据教师提的一个问题去讨论的。可以把同伴合作的目的性增强，充分利用同伴合作来进行问题的反馈。每一题解完成后，先同伴互说自己列的算式是什么意思，提高学生的参与度。这样在有限时间内，每人可以学会至少一种解法。在同伴交流的过程中，教师巡视，有目的、有选择地给几个学生排序号，具体是指：选择几个方法不同的学生，或者按照由易到难的方法等，以便有序地汇报。

三、要有整理与总结

学生在思维课上学习的不光是几道题，而应该是一种思维方式。在学完几道例题后，应有对核心知识点的整理与总结。如让学生尝试总结出“重叠问题”所蕴含的思想方法会在这几种题型中出现：排队数数、钉木板、摆棋子、至少一门优秀等。这样学生就能通过一个思维方法掌握一类型的问题，在遇到该类型的题目时就能够想到是用画图的策略分析重叠与整理的关系。

其次是要注意总结解题的方法。重叠问题可以分为三种解题思路：①两次都算，再减去重叠的部分；②两次都不算，再加上重叠的部分；③一次算重叠的部分，一次不算。每个例题的三种思路都有学生想出，在教学例1的时候应该把这三种思路用简短的文字板书，学生能够很清晰地看明白。

附：教学设计

1.教学例1

例1、陶陶排队买票，从前数排在第5个，从后数他排在第9个。一共多少人在排队买票？

思路点拨：先根据题意画出示意图，分析数量关系，发现陶陶是5个和9个的重叠部分，要计算总数，应该怎样解决这个问题呢？

提问：今天我们一起来研究重叠问题。小朋友们先想一想，图中的“5个”和“9个”分别是什么意思？和你的同桌交流一下。

学生讨论后明确：“5个”是指从前数包括陶陶在内的5个人，“9个”是指从后往前数包括陶陶在内的9个人。

追问：陶陶一共被数了几次？要计算总数，我们要应该如何解决呢？

明确：把多数的那次减去。

让学生独立列式，全班反馈。

预设1： 5+9-1=13（人）

提问：这里的减1是什么意思？

明确：陶陶被算了两次，所以要减去一次。

预设2： 4+8+1=13（人）

提问：这里的加1是什么意思？

明确：4和8中都没算陶陶，所以要加上。

预设3：9-1=8（人），8=5=13（人）。从前数算了陶陶，从后数没算陶陶。

预设4: 5-1=4（人），4+9=13（人）。从前数没算陶陶，从后数算了陶陶。

总结：我们来比较这几种方法，第一种是两次数都算上了陶陶，最后再减去多算的一次；第二种是两次都不算陶陶，最后再加上。后两种可以合为一种，即一次算上陶陶，一次不算陶陶的方法。

2.教学例2

例2、有两根长40厘米的木条，钉在一起，中间重叠的部分长8厘米，钉在一起之后木条总长多少厘米？

思路点拨：先把示意图补充完整，再结合图意分析重叠部分与各部分及总数之间的关系。

　　
　　 

8厘米

提问：图中已经把重叠部分表示出来了，你能在图上标出40厘米在哪儿吗？

学生尝试标出，然后请学生上来画一画。

明确从哪儿到哪儿是40厘米，注意要体现出重叠的部分。学生独立完成列式，全班反馈。

预设1： 40+40-8=72（厘米）

引导学生明确：两次都算，再减去重叠部分。

预设2： 32+32=64（厘米），64+8=72（厘米）。

引导学生明确：两次都不算，再加上重叠的部分。

预设3： 40-8=32（厘米），40+32=72（厘米）。

引导学生明确：一次算重叠部分，一次不算。

总结：在钉木条问题中也有重叠问题，同样我们需要先理清重叠的部分与总体之间的数量关系。

3.教学例3

例3、在正方形边上摆棋子，使正方形的每条边都有5枚棋子，最少要用多少枚棋子呢？

思路点拨：要使每条边都有5枚棋子，且总数最少，哪几个位置很重要？为什么？先在图上画一画，想想怎样列式解答。

提问：想要总数最少，哪几个位置很重要？和你的同桌说一说。

交流后明确：棋子在四个角上可以共用，所以总数最少。

学生画出四个角上的棋子后，提问：观察一下，现在每边有几枚棋子了？每边还需要再画几枚？将你的图补充完整，并尝试列式。

预设1：3×4+4=16（枚）

追问： 3×4是表示什么？加4表示什么？

交流后明确：3×4就是算出除了四个角上的中间的棋子，最后再加上四个角上的棋子。

预设2： 4×5-4=16（枚）

追问： 4×5是表示什么？减4表示什么？

交流后明确：4×5表示有4条边，每条边有5枚棋子，但是每个角上的棋子都多数了一次，所以最后要把把多算的4个角的棋子减去。

预设3： 4×4=16（枚）

请学生指一指是哪4个4，并引导学生明确这种方法实际上就是一次算了重叠的部分，一次不算重叠的部分，有这样的4组。

4.教学例4

例4、二（1）班有学生48人，期末考试后，数学优秀的有36人，语文优秀的有22人，全班每人至少有一门课得优秀，问两门都优秀的有几人？

思路点拨：尝试画图表示数学优秀、语文优秀的人数，这两者有没有重叠部分？再与全班人数比较，确定解题思路。

提问：你是如何理解“至少有一门课得优秀”的？和你的同桌讨论一下。

学生讨论后明确：有的是语文优秀，有的是数学优秀，还有的是两门都优秀。也就是说两门都优秀就是重叠的部分。

学生尝试画图。选取几个画的好的学生上台展示。

明确画图方法后，再列式解答。

5.课堂总结

今天这节课，我们学习了重叠问题，有这样几种题型：排队数数、钉木板、摆棋子、至少一门优秀这几种题型。我们首先要根据题意将示意图画出来，它可以帮助我们理清重叠部分与整体的数量关系。