建立表象，形成概念

——《长方形和正方形的面积》教学反思

南京市陶行知小学   胡晓娟

一、问题提出

数学研究的是数量关系和空间形式。新课程标准把小学数学分成了数与代数、空间与图形、统计与概率等几个板块，如何将这几块内容相互渗透，相互联系？以苏教版三年级下册《长方形和正方形的面积》的教学为例，试述“数学结合”思想在概念教学中的应用及启示。

教材设计2个例题，第一个例题是让学生自由地摆出3个大小不同的长方形，初步体验长方形面积与每排摆的个数和行数之间的关系；第二个例题是让学生测量两个长方形的长和宽，再用1平方厘米的小正方形去量长方形的面积，从而探究长方形的面积与长、宽之间的关系，归纳概括出长方形面积计算公式，继而推算出正方形面积计算公式。

教材为什么要编排两个例题？两个例题之间有怎样的逻辑关系？能否只教学第一个例题？下面就比较两个不同的课堂教学案例，对上述问题进行分析。

二、案例对比

【案例一】

师：小组合作，用若干个1平方厘米的正方形摆出3个不同的长方形，并填写表格（如下图）

。

生合作完成，汇报结果。

师：观察我们得到的结果，你发现怎样能够很快计算长方形的面积？

生：长×宽=长方形的面积。

师：对。下面我们来计算几个长方形的面积。

（习题略）

师：根据长方形面积的计算方法，你知道怎样计算正方形的面积吗？

课件演示：一个长方形的长边缩短至与短边相等（如下图）。

生：正方形的面积=边长×4

师：再想想，正方形的面积等于什么呢？

学生们仍然回答是：边长×4

师：边长×4是周长，面积到底怎么求呢？

学生们不敢回应。

老师只好自己回答，正方形的面积=边长×边长，你们不能把它和周长混淆了。

开始做练习，学生仍然在计算正方形面积的时候出现边长×4的错误，且数量较多。

【案例二】

第一次活动。

师：小组合作，用若干个1平方厘米的正方形摆出3个不同的长方形，并填写表格（如右图）。

生合作完成，汇报结果。

师：观察我们得到的结果，你发现长方形的面积与长、宽是否有关系？有怎样的关系？

生：只要用长×宽，就可以得到长方形的面积。

师：为什么用长×宽就可以得到长方形的面积？联系刚才用小正方形摆长方形的过程，想想长代表什么？宽代表什么？

生：长就是每排摆几个，宽就是摆了几排。长×宽就是一共摆了多少个小正方形，也就是长方形的面积。

第二次活动。

出示右图。

师：用摆小正方形的方法，你能量出这两个长方形的面积吗？

师追问：先思考，你打算选择怎样的小正方形？再想想，你会怎样摆小正方形？

小组讨论，交流反馈。

生反馈1：第一个长方形选择1平方厘米的正方形；第二个长方形选择1平方米的正方形。

师引导：看来测量长方形的面积，要根据长、宽的数据灵活选择面积单位。

生反馈2：第一个长方形沿着长摆9个，沿着宽摆5排。所以面积是9×5=45平方厘米；第二个长方形沿着长摆12个，沿着宽摆10列，所以面积是12×10=120平方米。

师引导：闭上眼睛想想想，我们就这样在两个长方形里摆满了小正方形。结果与这位小朋友的一样吗？

师追问：原来计算长方形的面积原来就是计算可以摆多少个面积单位。如果我们将摆面积单位的过程放在脑子里，直接用一个简单的算式反映需要摆多少个面积单位，你想到的算式是什么？

生齐答：长×宽

师：是的，长方形的面积=长×宽。

（习题略）

第三次活动。

师：如果是正方形，你会计算它的面积吗？

生：8×4=32（平方厘米）

师：想想计算正方形的面积，也就是在正方形里面摆面积单位。说说你打算怎么摆？

生：每排摆8个，摆8排。应该是64个。

师：对啊。那你觉得刚才你的想法受到了什么的影响？

生：受到了正方形周长的影响。

师：现在你们在计算正方形的面积时，想提醒自己注意什么？

生：不能受周长的影响。

生：要想每排摆几个，摆几排，就不会错了。

师：你们能用一个简单的算式来表示在正方形里面摆面积单位的过程吗？

生齐答：边长×边长

师追问：第一个边长表示什么？第二个边长表示什么？

（习题略）

第四次活动。

师：比较长方形和正方形面积计算方法，有联系吗？不同在哪里？

引导学生结合摆面积单位的过程，进一步理解长方形和正方形的面积计算方法。

三、结果与分析

（一）对比结果

两次课堂教学相比，面积计算和周长计算发生混淆的错误率分别为60%和20%。

（二）成因分析

1、数学知识的特点。

概念是客观事物本质属性的概括，学生理解概念的过程即是对概念所反映的本质属性的把握过程。概念形成是一个从具体到抽象、从感性到理性、从低级到高级，逐步上升、逐步发展的过程。

2、小学生心理发展的特点。

就小学生心理发展的阶段性而言，中年级（8-9岁）正经历着从形象思维向抽象思维发展的阶段。通过直观操作帮助学生建立表象，即形成事物与符号的“联结”，这是由形象思维向抽象思维过渡的重要环节。

3、教材编写的特点。

依据上述两个方面的分析，再来研读教材中的两个例题，不难看出教材中的第二个例题就巧妙地通过渗透“数形结合”思想来联结操作活动与计算方法，从而更好地帮助学生形成面积概念，掌握面积的计算方法。

（三）对策建议

对比两次课堂教学。

案例一中，教师通过观察3组实验数据，便引导学生归纳概括长方形面积的计算公式，实验过程与实验结论属于两个不同层面的活动，前者是操作活动，属于直观形象思维，后者则是数学活动，属于抽象逻辑思维，不同思维方式的发展不可一蹴而就，需要有递进提升的过程。缺少这个过程，学生无法将直观操作所积累的活动经验转化为符号思维的数学经验，因此数学学习只能陷入死记硬背的机械操练中。

案例二中，教师组织了四个有层次的活动。第一次活动帮助学生积累直观的操作经验；第二次活动通过一系列的想象，如“想想你会怎么摆？”“闭上眼睛，想想你们摆的结果也是这样吗？”来帮助学生在头脑中建立“形”；再趁势引导学生将“形”与“数”，即每排摆几个、摆几排与长方形的长、宽结合起来，从而归纳概括出长方形面积的计算方法；第三次活动是通过对长方形面积计算的迁移，类推正方形面积的计算方法，着重关注结合操作经验、建立正方形面积计算的表象，从而形成相关方法；第四次活动则是对前面几次活动的回顾与反思，进一步实现由活动经验向数学经验转化提升。在这四次活动中，学生经历动手操作、观察思考、数形结合、抽象概括、回顾反思的过程，对“面积”概念有了深入的体验，思维得以实现飞跃。

数学概念具有对象性和过程性的双重属性，教学中应针对概念的过程性帮助学生建立“形”，针对概念的对象性引导学生理解“数”，应用“数形结合”的方法帮助学生建立表象、形成概念。