——————分数除法教学例谈

发布人：胡晓娟  发布时间：2018/10/29 13:59:15

 

计算教学如何沟通算理和算法？

——《整数除以分数》教学例谈

南京市陶行知小学 胡晓娟

【问题描述】

分数除法的计算方法是 《分数除法》单元教学的重点。其教学内容主要包括四个例题（如右图所示），通过这四个例题的教学，循序渐进地组织教学，引导学生在不断探索新知的过程中逐步完善对分数除法计算方法的理解，主动归纳并掌握分数除法的计算方法。

教材在四个例题的编排上，均提供了情境图和直观手段，帮助学生理解算理、探索算法，这样编排的意图在于结合操作活动，促进学生对算理的理解、算法的形成，同时也提升学生的思维能力。（例题见下图所示）

但在实际教学中，很多教师在例1的教学中一般会借助情境图要求学生通过画图、分一分等直观手段进行操作活动，接着通过一定量的练习归纳概括出分数除以整数的计算方法，即等于乘这个整数的倒数。而例2-例4的教学则会通过例1的学习进行迁移教学，即整数除以分数等于乘这个分数的倒数、分数除以分数等于分数乘这个分数的倒数，对于各例所提供的情境图和操作活动则以简单的情境引入带过。

从课后检测可见，如上述教学，学生基本可以掌握分数除法的计算方法，那么计算教学是否就以此作为学习评价的唯一指标呢？当然不是，在整个学习过程中，算理的理解是否突破？数学思维能力是否得到提升？这些都是需要在组织学习活动过程中应该加以分析、实施和评价的。

【成因分析】

分析上述教学，主要是下面几个原因。

1.计算教学的目标把握不准。

计算教学是发展运算能力的重要载体，但根据法则、公式等正确进行计算并不是运算能力的全部，运算能力还应包括对算理的理解、运算技能与逻辑思维的有机整合，因此运算能力不仅是一种数学操作能力，更是一种数学思维能力。从对运算能力的解读可见，计算教学需要实现算理和算法的统一，需要鼓励算法多样化并实现算法优化。

2.操作活动的定位理解不透。

现代数学对于“几何直观”的解释是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知，即称之为“几何直观”。小学数学诸多问题的呈现和分析等过程都充分体现着“几何直观”的含义以及它的作用和价值。

如对分数乘分数的理解，结合图形就变得容易多了，下图1就是×的直观表达，而由下图1到下图2的变化又为理解分数乘分数的算理、探究分数乘分数的算法提供了有力的表象支撑，使问题变得简明、形象。

3.思维水平的发展割裂剥离。

6-12岁儿童的思维正由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维发展的，但这两种思维方式并不是割裂剥离的，而是相互补充、相互促进的。借助操作活动积累活动经验，通过几何直观建立丰富表象，学生具体形象思维方式正是经由这些直观活动得以向抽象逻辑思维逐步发展的。因此操作活动、数形结合等直观手段，不能仅仅满足于某个结论的获得，更要紧扣活动中的思维发展、逻辑分析、推理能力等数学素养展开对于过程的分析和研究。

如二年级《三位数的退位减》的教学，教师安排如下的活动形式：计算606-347，

①先用计数器拨珠表示“个位不够减，要从十位退1，十位上是0，要从百位退1”；

②百位退1到十位，当作10个十（10个十不拨珠，采用记数的方式，引导学生加深对“十进制”计数法的理解并灵活应用）；

③（如右图）十位再退1到个位，当作10个一，与个位上的6合起来是16个一（十位退1，采用记退位点的方式；个位不拨珠，采用记数与符号结合的方式，有助于学生更明确十位和个位上数的变化）。

上述教学中，学具操作和图示相结合的方式，不仅符合低年级学生“直观——抽象”的思维发展规律，同时也有利于促进直观操作向抽象算法的过渡，帮助学生理解算理、形成算法。

基于上述分析，对于《整数除以分数》的教学笔者作出以下的实践研究。

【实践研究】

一、课前预习：

1、  我来试。计算3÷和3÷，并说明计算方法的合理性或证明计算结果的正确性。

2、  我会学。通过看书自学、同伴交流或向家长请教等方式，学习整数除以分数的计算方法。

3、  我有疑。学习过程中，你有什么疑问？

（设计意图：“我来试”——通过尝试计算激发学生学习新知的欲望，同时要求学生说明计算方法的合理性或证明计算结果的正确性，充分调动学生已有的认知经验，拓宽新知学习的路径，如画图分析、转化成同分母分数进行计算、转化成被除数是1的除法、转化成除数是1的除法、转化成小数除法等，这是算法多样化的实施。“我会学”——不同的学习者根据个体不同的学习水平，采用不同的学习方式，解决“我来试”中的困难。“我有疑”——学习中存疑，带着疑问进课堂，从而更好地专注于个体学习的难点，提高课堂学习效率。）

二、课中学习：

1、  自学交流：以小组为单位进行交流，展示自己的思路，学习别人的方法。

2、  课堂精讲：

（1）结合示意图（如右图所示），理解3÷的算理。即1里面有4个，3里面就有3组4个，所以3÷1/4=3×4=12

（2）结合示意图（如右图所示），理解3÷的算理。即先按每份来分，3里面有12个，再按3个为一组，3里面有4组，所以3÷3/4=3÷1/4÷3=3×4×1/3=3×（4×1/3）=3×4/3=4

（3）归纳概括。

①结合示意图，帮助分析算理，形成算法。整数除以分数等于整数乘这个分数的倒数。

②比较各种算法，明确各种算法的合理性，再优化算法。即计算整数除以分数，转化为整数乘这个分数的倒数，比较简便。

（设计意图：整数除以分数的算理是本课学习的难点，即为什么可以转化成乘这个分数的倒数？这一难点仅仅通过算法多样化是不能突破的，因此借助几何直观，即通过示意图结合平均分的方法，形象地理解算法的道理，为形成算法提供依据。在图与式的勾连中，引导学生深入理解算理，体会整数除以分数的本质，即乘这个分数的倒数。在整个学习过程中，既有基于个体对算法的探究，也有针对难点的操作活动，最后还需要对算法的优化，“各种算法哪种最简便？”通过生生交流、师生交流等几轮的分析讨论提炼，掌握整数除以分数的计算方法，学生的计算能力就在由简单到复杂、由具体到抽象、由低级到高级的学习活动中逐步形成和发展起来，其计算能力与观察能力、理解能力、联想能力、分析能力、表述能力、思维能力等相互渗透，共同发展。）

三、课堂巩固（略）

四、全课总结（略）

【教后反思】

1、理解意义是培养运算能力的基础。

运算与解决问题是紧密联系的，特别是对于6-12岁的儿童，联系生活情境，沟通生活经验，强调对问题本质与运算意义的联系，是理解运算意义的重要途径。如上述教学中，结合平均分引导学生理解分数除法的实际意义，不仅帮助学生积累相应的活动经验，同时也为抽象出分数除法的算法奠定了基础。

2、理法融合是发展运算能力的关键。

算理为算法提供依据，法则又使得算理可操作化，有理无法，运算无法呈现；有法无理，则是机械操练，因此两者要进行“理法交融”，这应是发展运算能力的关键。如上述教学中，通过“平均分”这一直观模型引导学生明确分数除法的算理，再通过抽象概括，形成分数除法的算法。“数形结合”就是一种很好的沟通理法的途径。

3、  算法多样化与算法优化是提高计算能力的途径。

运算能力的形成不是一蹴而就的，需要有递进性和综合性。教学中既要关注学生个体思维的发展，即重视算法多样化，也要强调数学的优化思想，即算法的优化，在此过程中，促进学生的运算能力由具体向抽象发展，低级向高级发展。